Teoria stresului bazată pe teoria elasticității. Enunțarea problemelor în teoria elasticității. Ecuații de bază ale teoriei elasticității

Universitatea de Stat din Rusia

petrol și gaze numite după. I.M.Gubkina

Catedra de Mecanica Tehnica

ABSTRACT

„Teoria elasticității”

Completat de: Polyakov A. A.

Verificat de: Evdokimov A.P.

Moscova 2011

teorie ecuația elasticității

1. Introducere

Teoria stării de stres-deformare într-un punct al corpului

2.1 Teoria stresului

2 Teoria deformării

3 Relația dintre efort și deformare pentru corpurile elastice

Ecuații de bază ale teoriei elasticității. Tipuri de probleme în teoria elasticității

1 Ecuații de bază ale teoriei elasticității

2 Tipuri de probleme în teoria elasticității

4 Ecuații ale teoriei elasticității în deplasări (ecuații Lame)

Principiile variaționale ale teoriei elasticității

1 Principiul mișcărilor posibile (principiul Lagrange)

2 Principiul stărilor posibile (principiul lui Castillano)

3 Relația dintre soluția exactă și soluțiile obținute pe baza principiilor lui Lagrange și Castigliano

Lista literaturii folosite

1. Introducere

Teoriile de stres și deformare au fost create de O. Cauchy. Ele sunt expuse într-o lucrare prezentată Academiei de Științe din Paris în 1822, al cărei rezumat a fost publicat în 1823 și într-o serie de articole ulterioare. O. Cauchy a derivat trei ecuații de echilibru pentru un tetraedru elementar, a demonstrat legea împerecherii tensiunilor tangențiale, a introdus conceptele de axe principale și tensiuni principale și a derivat ecuații de echilibru diferențial (de obicei nu sunt derivate în cursul rezistenței materialelor) . El a introdus și suprafața tensiunilor normale (cadricul Cauchy), pe care se află capetele vectorilor cu rază, ale căror direcții coincid cu direcția normalelor către zone, iar valoarea este invers proporțională cu rădăcina pătrată a lui. valoarea absolută a tensiunii normale în această zonă și se demonstrează că această suprafață este o suprafață de ordinul doi centrată la origine. Posibilitatea de a transforma suprafața tensiunilor normale în axele principale indică existența în fiecare punct a trei zone perpendiculare principale reciproce.

O suprafață similară de tensiuni tangenţiale a fost introdusă de mecanicul rus G.V. Kolosov în 1933

O interpretare geometrică a stării de stres în spațiu sub forma unui elipsoid de stres a fost oferită de G. Lame și B. Clapeyron în memoriile lor prezentate Academiei de Științe din Paris în 1828 și publicate în 1833.

O reprezentare geometrică a stării de stres pe un plan pentru o serie de zone care trec prin axa principală sub forma unui cerc de stres a fost propusă de K. Kuhlmann în cartea sa din 1866.

Pentru cazul general al unei stări tensionate, o interpretare geometrică foarte clară a acesteia pe un plan a fost oferită de O. More (așa-numita diagramă circulară a lui Mohr) în 1882. Din aceasta se pot trage o serie de concluzii importante despre extremitatea tensiunilor principale, poziția zonelor în care tensiunile tangențiale sunt maxime și despre mărimile acestor tensiuni de forfecare maxime.

O. Cauchy a dat o definiție a deformațiilor, a derivat dependența acestora de deplasări în cazul particular al deformațiilor mici (aceste dependențe, de regulă, nu sunt derivate în cursul rezistenței materialelor), a definit conceptele de tensiuni principale și deformații principale. , și a obținut dependențele componentelor tensiunii de componentele de deformare, ca și pentru corpul elastic izotrop și anizotrop. În rezistența materialelor, dependențele componentelor de deformare de componentele tensiunii pentru un corp izotrop sunt de obicei stabilite. Ele sunt numite legea generalizată a lui Hooke, deși, desigur, această denumire este condiționată, întrucât R. Hooke nu cunoștea conceptul de tensiune.

În aceste dependențe, Cauchy a introdus mai întâi două constante și a notat dependențele tensiunii de deformare sub forma

m, ,

Cu toate acestea, mai târziu O. Cauchy a acceptat conceptul lui L. Navier. Potrivit acesteia, corpurile elastice constau din molecule, între care, atunci când sunt deformate, apar forțe care acționează în direcțiile liniilor drepte care leagă moleculele și sunt proporționale cu modificarea distanțelor dintre molecule. Atunci numărul constantelor elastice pentru cazul general al unui corp anizotrop este 15, iar pentru un corp izotrop obținem o constantă elastică. Această ipoteză a fost respectată de S. Poisson și inițial de G. Lamé și B. Clapeyron. Pe baza acestuia, Poisson a stabilit că coeficientul de deformare transversală este 1/4.

D. Green în 1839 a derivat relația dintre deformații și tensiuni fără a folosi o ipoteză despre structura moleculară a corpurilor elastice. El le-a obținut pe baza principiului conservării energiei, introducând conceptul de potențial elastic și a arătat că atunci când se folosesc dependențe liniare a șase componente de deformare pe șase componente ale tensiunii, din 36 de coeficienți, 21 sunt independenți, adică în cazul general al un corp anizotrop, numărul de constante elastice este 21 Pentru un corp izotrop, numărul de constante elastice se reduce la două. Teoria în care numărul de constante elastice pentru un corp anizotrop este egal cu 15, iar pentru un corp izotrop 1, a fost uneori numită „rariconstant” sau „uniconstant”, iar teoria în care numărul de constante elastice pentru un corp anizotrop este egal cu 21, iar pentru un corp izotrop 2 - „multiconstant” .

Disputa dintre susținătorii acestor teorii i-a determinat pe fizicieni să efectueze cercetări experimentale.

G. Wertheim, pe baza măsurătorilor volumelor interne ale țevilor de sticlă și metal aflate sub tensiune axială, a stabilit în 1848 că coeficientul de deformare transversală nu este egal cu 1/4. El a considerat că este diferit pentru diferite materiale, dar pentru multe materiale aproape de 1/3.

ȘI EU. Kupfer, testând tije metalice în tensiune și torsiune în 1853, a mai constatat că raportul dintre modulele în forfecare și tensiune nu corespunde cu valoarea deformației transversale, egală cu 1/4.

În 1855, F. Neumann a testat mostre de secțiune transversală dreptunghiulară pentru îndoire și a măsurat unghiurile de rotație ale celor două fețe ale grinzii (secțiunea transversală are formă trapezoidală). Drept urmare, el a arătat că coeficientul de deformare transversală nu este egal cu 1/4. G. Kirchhoff, elev al lui F. Neumann, a ajuns la aceeași concluzie pe baza testelor efectuate în 1859 privind îndoirea și torsiune combinată a tijelor rotunde de alamă, încastrate la un capăt și încărcate la celălalt cu o forță concentrată, măsurând unghiul de răsucire al tijei şi unghiul de rotaţie al secţiunii .

Un studiu experimental amplu al coeficienților de deformare transversală pentru diferite tipuri de oțel a fost realizat de unul dintre studenții lui G. Kirchhoff M.F. Okatov în 1865 - 1866 Rezultatele sunt prezentate în teza sa de doctorat Testele de torsiune și încovoiere ale prismelor subțiri tăiate din monocristale, precum și testele de compresibilitate a cristalelor sub compresie uniformă au fost efectuate de W. Voigt și descrise în numeroasele sale articole, compilate ulterior în. o carte publicată în 1910 Ei au confirmat corectitudinea teoriei multi-constantelor.

Un studiu aprofundat al structurii matematice a legii lui Hooke pentru corpurile anizotrope a fost efectuat de mecanicul și inginerul Jan Rychlewski în 1984, pe baza conceptului de stare elastică pe care l-a introdus. În special, el a arătat că cele 21 de constante elastice reprezintă șase module de rigiditate adevărate, 12 distribuitori de rigiditate și trei unghiuri.

2. Teoria stării de stres-deformare într-un punct al corpului

1 Teoria stresului

Factorii de forță interni care apar atunci când un corp elastic este încărcat caracterizează starea unei anumite secțiuni a corpului, dar nu răspund la întrebarea care punct al secțiunii transversale este cel mai încărcat sau, după cum se spune, punctul periculos. Prin urmare, este necesar să se ia în considerare o cantitate suplimentară care caracterizează starea organismului la un punct dat.

Dacă un corp căruia i se aplică forțe externe este în echilibru, atunci forțele de rezistență interioare apar în orice secțiune a acestuia. Să notăm prin forța internă care acționează asupra unei zone elementare, iar normala acestei zone până atunci mărimea

numită tensiune totală.

În cazul general, tensiunea totală nu coincide în direcție cu normala zonei elementare, deci este mai convenabil să se opereze cu componentele sale de-a lungul axelor de coordonate -

Dacă normala externă coincide cu orice axă de coordonate, de exemplu, cu axa X, atunci componentele tensiunii vor lua forma: componenta se dovedește a fi perpendiculară pe secțiune și se numește efort normal, iar componentele vor fi situate în planul de secțiune și se numesc tensiuni tangenţiale.

Pentru a distinge cu ușurință între tensiunile normale și cele tangenţiale, se folosesc de obicei alte denumiri: - efort normal, - efort tangenţial.

Să alegem dintr-un corp sub acțiunea forțelor externe un paralelipiped infinitezimal, ale cărui muchii sunt paralele cu planurile de coordonate, iar muchiile au lungimea de . Pe fiecare față a unui astfel de paralelipiped elementar există trei componente ale tensiunii paralele cu axele de coordonate. În total, pe șase fețe obținem 18 componente ale tensiunii.

Tensiunile normale sunt notate sub forma , unde indicele denotă normala la fața corespunzătoare (adică, poate lua valori). Tensiunile tangențiale au forma ; aici primul indice corespunde normalei zonei asupra căreia acţionează această tensiune de forfecare, iar al doilea indică axa paralelă către care este îndreptată această solicitare (Fig. 1).

Fig.1. Tensiuni normale și forfecare

Pentru aceste tensiuni se adoptă următoarea regulă a semnului. Stresul normal este considerat pozitiv în tensiune sau, ceea ce este la fel, atunci când coincide cu direcția normalei exterioare față de zona pe care acționează. Tensiunea de forfecare este considerată pozitivă dacă, pe o zonă a cărei normală coincide cu direcția axei de coordonate paralelă cu aceasta, este îndreptată către axa de coordonate pozitivă corespunzătoare acestei solicitări.

Componentele tensiunii sunt funcții a trei coordonate. De exemplu, stresul normal într-un punct cu coordonate poate fi notat

Într-un punct care se află la o distanță infinitezimală de punctul luat în considerare, tensiunea poate fi extinsă într-o serie Taylor cu precizie până la infinitezimale de ordinul întâi:

Pentru zonele care sunt paralele cu planul, se modifică doar coordonatele x, iar incrementele Prin urmare, pe fața paralelipipedului care coincide cu planul, tensiunea normală va fi , iar pe fața paralelă, situată la o distanță infinitezimală, - Tensiunile pe fețele paralele rămase ale paralelipipedului sunt legate într-un mod similar. Prin urmare, din 18 componente de tensiune, doar nouă sunt necunoscute.

În teoria elasticității este dovedită legea împerecherii tensiunilor tangențiale, conform căreia, pe două arii reciproc perpendiculare, componentele tensiunilor tangențiale perpendiculare pe linia de intersecție a acestor zone sunt egale între ele:

Egalitățile (2) duc la faptul că din cele nouă componente de stres care caracterizează starea tensionată într-un punct al corpului, rămân doar șase:

Se poate demonstra că stresul (3) nu numai că caracterizează starea de stres a corpului la un punct dat, ci o definește în mod unic. Combinația acestor tensiuni formează o matrice simetrică, care se numește tensorul tensiunilor:

(4)

Când un tensor este înmulțit cu o mărime scalară, se obține un nou tensor, ale cărui componente sunt de ori mai mari decât componentele tensorului original.

2 Teoria deformării

Sub influența sarcinilor externe, un corp elastic își schimbă forma și se deformează. În acest caz, punctele corpului iau o nouă poziție. Pentru a determina deformarea unui corp elastic, comparăm pozițiile punctelor corpului înainte și după aplicarea sarcinii.

Să luăm în considerare punctul corpului descărcat și noua sa poziție după aplicarea sarcinii. Vectorul se numește vector de deplasare a punctului (Fig. 2).

Fig.2. Vector de mișcare punct

Sunt posibile două tipuri de mișcări: mișcarea întregului corp ca întreg unic fără deformare - astfel de mișcări sunt studiate de mecanica teoretică ca mișcări ale unui corp absolut rigid și mișcarea asociată cu deformarea corpului - astfel de mișcări sunt studiate de teorie. de elasticitate.

Să notăm proiecțiile vectorului deplasare al punctului pe axele de coordonate cu, respectiv. Ele sunt egale cu diferența dintre coordonatele corespunzătoare ale punctelor și:

și sunt funcții ale coordonatelor:

Deformarea unui corp este cauzată de diferențele în mișcările diferitelor sale puncte. Un paralelipiped infinitezimal cu muchii tăiate dintr-un corp elastic în apropierea unui punct arbitrar, datorită diverselor mișcări ale punctelor sale, este deformat în așa fel încât lungimea muchiilor sale să se modifice și unghiurile inițial drepte dintre fețe să fie distorsionate.

Figura 3.3 prezintă două muchii ale acestui paralelipiped: iar lungimea muchiei este egală cu și lungimea muchiei este

După deformare, punctele iau o poziție În acest caz, punctul va primi o deplasare, ale cărei componente în planul de desenare sunt egale, iar un punct situat la o distanță infinitezimală de punct va primi o deplasare, componentele lui. care va diferi de componentele deplasării punctului cu o cantitate infinitezimală datorită unei modificări de coordonate

Fig.3. Deformații liniare și unghiulare

Componentele mișcării punctului vor diferi de componentele mișcării punctului într-o cantitate infinitezimală datorită unei modificări a coordonatei

Lungimea proiecției nervurii pe axă după deformare:

Proiecția alungirii absolute a nervurii pe ax

Alungirea relativă de-a lungul axei

(6)

se numește deformare liniară în direcția axei.

Deformații liniare de-a lungul direcțiilor axelor și

(7)

Să luăm în considerare modificarea unghiurilor dintre marginile paralelipipedului (Fig. 3). Tangenta unghiului de rotație al nervurii în plan

Datorită micii deformații a, deformația liniară poate fi neglijată datorită micii sale față de unitate, iar apoi

Într-un mod similar, puteți determina unghiul de rotație al muchiei în același plan:

Distorsiunea unui unghi drept se numește deformare unghiulară și este definită ca suma unghiurilor de rotație ale nervurilor și:

(8)

În același mod, deformațiile unghiulare sunt determinate în alte două planuri de coordonate:

(9)

Formulele (6)-(9) oferă șase dependențe principale pentru deformațiile liniare și unghiulare ale componentelor deplasării. Aceste dependențe se numesc ecuații Cauchy:

(10)

În limită, când lungimile marginilor paralelipipedului tind spre zero, relațiile Cauchy determină deformațiile liniare și unghiulare în vecinătatea punctului.

Deformațiile liniare pozitive corespund alungirilor, iar deformațiile liniare negative corespund scurtărilor. Unghiul de deplasare este considerat pozitiv atunci când unghiul dintre direcțiile pozitive ale axelor de coordonate corespunzătoare scade și negativ în caz contrar.

Similar cu tensorul de tensiuni, starea deformată a unui corp la un punct dat este descrisă de tensorul de deformare

(11)

La fel ca tensorul de tensiune, tensorul de deformare este o matrice simetrică care conține nouă componente, dintre care șase sunt diferite.

2.3 Relația dintre efort și deformare pentru corpurile elastice

Relațiile dintre stres și încordări sunt de natură fizică. Restricționându-se la deformari mici, relația dintre stres și deformare poate fi considerată liniară.

Când se testează o tijă pentru tensiune (testarea mecanică a materialelor va fi discutată în detaliu în secțiunea următoare), se stabilește o relație proporțională între efortul normal și deformarea liniară într-o direcție, care se numește legea lui Hooke:

unde constanta elastică se numește modul elastic longitudinal.

Folosind aceeași metodă experimentală, s-a stabilit o legătură între deformațiile liniare pe direcțiile longitudinale și transversale:

unde este deformația liniară în direcția transversală, este a doua constantă elastică, numită raportul lui Poisson.

În testele mecanice pentru forfecare pură, s-a stabilit o relație direct proporțională între efortul de forfecare și deformarea unghiulară în planul de acțiune al acestei solicitări, care a fost numită legea lui Hooke în forfecare:

unde mărimea este a treia constantă elastică și se numește modul de forfecare. Cu toate acestea, această constantă elastică nu este independentă, deoarece legate de primele două dependențe

Pentru a stabili relația dintre deformații și tensiuni, selectăm un paralelipiped infinitezimal din corp (Fig. 1) și luăm în considerare efectul doar al tensiunilor normale. Diferența de tensiuni pe fețele opuse ale paralelipipedului poate fi neglijată, deoarece duce la deformari de ordin superior al micimii.

Să determinăm alungirea nervurii paralelă cu solicitarea Sub acțiunea acestei tensiuni, conform legii lui Hooke (3.12), se va produce o alungire relativă a nervurii.

Tensiunea determină o alungire similară în direcția perpendiculară pe nervură

iar în direcția marginii - scurtare, care conform (13) este

sau, ținând cont de expresia deformației

Scurtarea relativă a nervurii sub acțiunea stresului se determină în mod similar

Pe baza principiului independenței acțiunii forțelor, alungirea relativă totală a nervurii poate fi determinată ca suma alungirilor datorate acțiunii fiecărei solicitări:

În mod similar, deformațiile liniare pot fi determinate în direcțiile celorlalte două axe:

În conformitate cu legea lui Hooke în forfecarea (14), relația dintre deformațiile unghiulare și eforturile de forfecare poate fi reprezentată independent pentru fiecare dintre cele trei plane paralele cu planurile de coordonate:

Astfel, au fost obținute șase formule care exprimă relația liniară dintre componentele deformației și tensiunii într-un corp elastic izotrop și sunt numite legea Hooke generalizată:

(16)

3. Ecuații de bază ale teoriei elasticității. Tipuri de probleme în teoria elasticității

Sarcina principală a teoriei elasticității este de a determina starea de efort-deformare în funcție de condițiile date de încărcare și fixare a corpului.

Starea tensiunii-deformare se determină dacă se găsesc componentele tensorului (s) de tensiune și vectorul deplasare, nouă funcții.

3.1 Ecuații de bază ale teoriei elasticității

Pentru a găsi aceste nouă funcții, trebuie să scrieți ecuațiile de bază ale teoriei elasticității sau:

Cauchies diferențiale

(17)

unde sunt componentele tensorului părții liniare a deformației Cauchy;

componente ale tensorului derivatei deplasării de-a lungul razei.

Ecuații de echilibru diferențial

unde sunt componentele tensorului tensiunii; - proiecția forței corpului pe axa j.

Legea lui Hooke pentru un corp izotrop liniar elastic

unde sunt constantele Lame; pentru un corp izotrop. Iată tensiunile normale și de forfecare; deformații și, respectiv, unghiuri de forfecare.

Ecuațiile de mai sus trebuie să satisfacă dependențele Saint-Venant

În teoria elasticității, problema este rezolvată dacă sunt îndeplinite toate ecuațiile de bază.

2 Tipuri de probleme în teoria elasticității

Condițiile limită de pe suprafața corpului trebuie îndeplinite și, în funcție de tipul condițiilor limită, se disting trei tipuri de probleme din teoria elasticității.

Primul tip. Forțele sunt date pe suprafața corpului. Condiții de frontieră

Al doilea tip. Probleme în care deplasarea este specificată pe suprafața corpului. Condiții de frontieră

Al treilea tip. Probleme mixte ale teoriei elasticității. Forțele sunt specificate pe o parte a suprafeței corpului, iar deplasarea este specificată pe o parte a suprafeței corpului. Condiții de frontieră

Problemele în care forțele sau deplasările sunt specificate pe suprafața unui corp și este necesară găsirea stării de efort-deformare în interiorul corpului și ceea ce nu este specificat la suprafață, se numesc probleme directe. Dacă în interiorul corpului sunt specificate tensiuni, deformații, deplasări etc. și trebuie să determinați ceea ce nu este specificat în interiorul corpului, precum și deplasările și solicitările pe suprafața corpului (adică, găsiți motivele care au cauzat astfel de o stare de tensiune-deformare)), atunci astfel de probleme se numesc inverse.

4 Ecuații ale teoriei elasticității în deplasări (ecuații Lame)

Pentru a determina ecuațiile teoriei elasticității în deplasări, scriem: ecuații de echilibru diferențial (18) Legea lui Hooke pentru un corp izotrop liniar elastic (19)

Dacă luăm în considerare că deformațiile se exprimă prin deplasări (17), scriem:

De asemenea, trebuie amintit că unghiul de forfecare este legat de deplasări prin următoarea relație (17):

(23)

Înlocuind expresia (22) în prima ecuație de egalități (19), obținem că tensiunile normale

(24)

Rețineți că scrierea lui în acest caz nu implică însumarea peste i.

Înlocuind expresia (23) în cea de-a doua ecuație de egalități (19), obținem că eforturile de forfecare

(25)

Să scriem ecuațiile de echilibru (18) în formă extinsă pentru j = 1

(26)

Înlocuind expresii pentru tensiunile normale (24) și tangențiale (25) în ecuația (26), obținem

unde λ este constanta Lame, care este determinată de expresia:

Să substituim expresia (28) în ecuația (27) și să scriem,

unde este determinat de expresia (22), sau în formă extinsă

Să împărțim expresia (29) la G și să adăugăm termeni similari și să obținem prima ecuație Lame:

(30)

unde este operatorul Laplace (operatorul armonic), care este definit ca

(31)

În mod similar, puteți obține:

(32)

Ecuațiile (30) și (32) pot fi scrise după cum urmează:

(33)

Ecuațiile (33) sau (30) și (32) sunt ecuații Lamé. Dacă forțele de volum sunt zero sau constante, atunci

(34)

Mai mult, notația în acest caz nu implică însumarea peste i. Aici

Se poate demonstra că o astfel de reprezentare a deplasărilor printr-o funcție armonică transformă ecuația Lame (33) într-o identitate. Ele sunt adesea numite condițiile Popkovich-Grodsky. Nu sunt necesare patru funcții armonice, deoarece φ0 poate fi setat la zero.

4. Principiile variaționale ale Teoriei Elasticității.

1 Principiul mișcărilor posibile (principiul Lagrange)

Principiul lui Lagrange. Pentru un corp aflat în echilibru, munca efectuată de forțele externe și interne asupra oricăror posibile creșteri infinitezimale de deplasare este zero.

Folosind teorema lui Clapeyron, care pentru un corp deformat elastic prin variarea deplasării, obținem principiul Lagrange

În mecanica corpurilor deformabile, mișcările posibile sunt cele care satisfac constrângerile externe și interne impuse corpului.

Racordurile exterioare sunt conditiile de fixare, racordurile interne sunt conditia continuitatii.

Pentru a satisface conexiunile interne, este necesar ca incrementele de deplasare să fie funcții continue monovaloare ale coordonatelor.

În această formă, principiul lui Lagrange este valabil pentru orice corpuri deformabile.

Pentru corpurile elastice s-a constatat că

(41)

Apoi (40), luând în considerare (41), se va scrie ca

(42)

unde W este deformarea specifică și

Aici U este variația energiei potențiale totale a corpului.

Să substituim expresia (43) în (42) și, deoarece forțele nu variază, scriem asta

(44)

Ecuația (44) este ecuația variațională a lui Lagrange.

Dacă forțele sunt conservatoare, atunci primele două integrale reprezintă modificarea potențialului forțelor externe în timpul trecerii de la o stare nedeformată la una deformată.

Potentialul fortelor externe

(45)

unde - lucrul posibil al forțelor externe în timpul trecerii de la o stare nedeformată la una deformată se calculează în ipoteza că forțele externe rămân neschimbate. Energia totală a sistemului

Apoi, ținând cont de expresiile (44) - (46), principiul Lagrange se va scrie:

adică variaţia energiei totale a sistemului la poziţia de echilibru pe posibile deplasări este nulă. Expresia (47) este ecuația variațională a lui Lagrange în cazul acțiunii doar a forțelor conservative.

Într-o poziție de echilibru stabilă, energia totală P este minimă,

Principiul lui Lagrange este principiul energiei minime.

2 Principiul stărilor posibile (principiul lui Castillano)

Vom numi stări posibile cele care sunt în concordanță cu forțele externe și interne, adică cele care satisfac ecuațiile de echilibru.

Ecuația (57) scrie Principiul lui Castigliano. Cu posibile modificări ale stării solicitate a corpului, variația este egală cu integrala pe acea parte a suprafeței corpului pe care sunt specificate deplasări din produsele posibilelor forțe și deplasări de suprafață.

3 Relația dintre soluția exactă și soluțiile obținute pe baza principiilor lui Lagrange și Castigliano

Pe baza principiului Lagrange, alegând unele funcții, sau un set al acestora, și întrucât setul de funcții este limitat, obținem un număr mai mic de grade de libertate ale sistemului, reducând astfel gradele de libertate ale designului. Adică, în sens energetic, soluția se dovedește a fi mai dură decât cea exactă.

Dacă luăm caracteristici integrale, atunci soluția aproximativă este integrală mai rigid.

Când se rezolvă problema încărcării unei grinzi simplu susținute cu o forță transversală în mijlocul travei (Fig. 1), soluția aproximativă va da mai puțină deplasare sub forță decât cu soluția exactă.

solutie exacta

La rezolvarea aceleiași probleme folosind principiul variațional al lui Castigliano, deoarece condiția de continuitate nu este satisfăcută, sistemul primește o libertate mai mare decât în realitate.

Soluția exactă se află între aceste două metode aproximative (Lagrange și Castigliano). Uneori, diferența dintre soluțiile obținute este mică.

5. Lista literaturii folosite

1. Aleksandrov A.V., Potapov V.D. Fundamentele teoriei elasticității și plasticității. 400 p. Școala superioară 1990.

2. Veretimus D.K. Fundamente ale teoriei elasticității. Partea I. Teoria tensiunilor. 2005.-37s.

Veretimus D.K. Fundamentele teoriei elasticităţii. Partea a II-a. Relația dintre stările tensionate și deformate Manual metodologic pentru cursul „Fundamentele teoriei elasticității și plasticității”, 2005.-53 p.

Veretimus D.K. Fundamentele teoriei elasticității Partea III Ecuații de bază ale teoriei elasticității.

FUNDAMENTELE TEORIEI ELASTICITĂȚII

PROBLEME AXISIMETRICE ALE TEORIEI ELASTICITĂȚII

FUNDAMENTELE TEORIEI ELASTICITĂȚII

Prevederi de bază, ipoteze și notații Ecuații de echilibru pentru un paralelipiped elementar și un tetraedru elementar. Tensiuni normale și forfecare de-a lungul unei platforme înclinate

Determinarea tensiunilor principale și a celor mai mari tensiuni tangenţiale într-un punct. Tensiuni de-a lungul zonelor octaedrice Concept de deplasări. Dependenţe între deformaţii şi deplasări. Relativ

deformare liniară într-o direcție arbitrară Ecuații de compatibilitate cu deformarea. Legea lui Hooke pentru un corp izotrop Problemă plană în coordonate dreptunghiulare Problemă plană în coordonate polare

Soluții posibile la problemele din teoria elasticității. Soluții la probleme de deplasări și tensiuni Prezența unui câmp de temperatură. Scurte concluzii la secțiunea PROBLEME AXISIMMETRICE SIMPLE Ecuații în coordonate cilindrice Ecuații în coordonate cilindrice (continuare)

Deformarea unui vas sferic cu pereți groși Forță concentrată care acționează asupra unui plan

Cazuri speciale de încărcare a unui semi-spațiu elastic: încărcare uniformă pe suprafața unui cerc, încărcare peste zona unui cerc peste o „emisferă”, problema inversă a presării unei mingi absolut rigide într-o jumătate elastică. spaţiu. Problema prăbușirii elastice a bilelor țevi cu pereți groși

Informații generale. Ecuația de echilibru pentru un element de conductă Studiul tensiunilor sub presiune pe unul dintre circuite. Condiții de rezistență în timpul deformării elastice Tensiuni în țevile compozite. Conceptul de calcul al conductelor multistrat Exemple de calcule

PLACI, MEMBRANE Definitii si ipoteze de baza

Ecuația diferențială a suprafeței medii curbate a unei plăci în coordonate dreptunghiulare Îndoirea cilindrică și sferică a unei plăci

Momente de încovoiere în timpul îndoirii axisimetrice a unei plăci rotunde. Ecuația diferențială a suprafeței mijlocii curbate a unei plăci circulare. Condiții de limită în plăci circulare. Cele mai mari tensiuni și abateri. Condiții de forță. Tensiuni de temperatură în plăci

Determinarea forțelor în membrane. Forțe și tensiuni în lanț. Determinarea aproximativă a deformațiilor și tensiunilor în membrane rotunde Exemple de calcule Exemple de calcule (continuare)

1.1 Fundamente, ipoteze și notații

Teoria elasticității își propune să studieze analitic starea de efort-deformare a unui corp elastic. Soluțiile obținute folosind ipotezele de rezistență pot fi verificate folosind teoria elasticității

materialelor, și se stabilesc limitele de aplicabilitate a acestor soluții. Uneori, secțiunile teoriei elasticității, în care, ca și în cazul rezistenței materialelor, se ia în considerare problema adecvării unei piese, dar folosind un aparat matematic destul de complex (calcul de plăci, cochilii, matrice), sunt denumite ca teoria aplicată a elasticității.

Acest capitol conturează conceptele de bază ale teoriei matematice liniare a elasticității. Aplicarea matematicii la descrierea fenomenelor fizice impune schematizarea acestora. În teoria matematică a elasticității, problemele sunt rezolvate cu cât mai puține presupuneri, ceea ce complică tehnicile matematice folosite pentru rezolvare. Teoria liniară a elasticității presupune existența unei relații liniare între componentele de efort și deformare. Pentru o serie de materiale (cauciuc, unele tipuri de fontă), o astfel de dependență nu poate fi acceptată nici la deformații mici: diagrama σ - ε din domeniul elasticității are același contur atât la încărcare, cât și la descărcare, dar în ambele cazuri este curbiliniu. Când se studiază astfel de materiale, este necesar să se utilizeze dependențele teoriei neliniare a elasticității.

ÎN Teoria matematică liniară a elasticității se bazează pe următoarele ipoteze:

1. Despre continuitatea (continuitatea) mediului. În acest caz, structura atomică a substanței sau prezența eventualele goluri nu sunt luate în considerare.

2. Despre starea naturală, pe baza căreia nu se ia în considerare starea inițială solicitată (deformată) a corpului care a apărut înainte de aplicarea influențelor forței, adică se presupune că în momentul încărcării corpului, deformațiile și tensiunile în orice punct sunt egale cu zero. În prezența tensiunilor inițiale, această ipoteză va fi valabilă dacă doar dependențele teoriei liniare a elasticității pot fi aplicate tensiunilor rezultate (suma inițialelor și a celor rezultate din influențe).

3. Despre omogenitate, pe baza căreia se presupune că compoziția corpului este aceeași în toate punctele. Dacă în ceea ce privește metalele această ipoteză nu dă erori mari, atunci în ceea ce privește betonul, atunci când se iau în considerare volume mici, poate duce la erori semnificative.

4. Despre izotropia sferică, pe baza căreia se crede că Proprietățile mecanice ale materialului sunt aceleași în toate direcțiile. Cristalele metalice nu au această proprietate, dar pentru metalul în ansamblu, format dintr-un număr mare de cristale mici, putem presupune că această ipoteză este valabilă. Pentru materialele care au proprietăți mecanice diferite în direcții diferite, cum ar fi materialele plastice laminate, a fost dezvoltată o teorie a elasticității materialelor ortotrope și anizotrope.

5. Pe elasticitatea ideală, pe baza căreia se presupune dispariția completă a deformării după îndepărtarea sarcinii. După cum se știe, deformarea reziduală are loc în corpurile reale sub orice încărcare. Prin urmare presupunerea

6. Despre relaţia liniară dintre componentele deformaţiilor şi tensiuni.

7. Pe micimea deformațiilor, pe baza căreia se presupune că deformațiile relative liniare și unghiulare sunt mici în comparație cu unitatea. Pentru materiale precum cauciucul sau elemente precum arcuri elicoidale, a fost dezvoltată o teorie a deformațiilor elastice mari.

La rezolvarea problemelor din teoria elasticității se folosește teorema privind unicitatea soluției: dacă suprafața exterioară dată și forțele volumetrice sunt în echilibru, ele corespund unui singur sistem de tensiuni și deplasări. Propoziţia despre unicitatea soluţiei este valabilă numai dacă este valabilă ipoteza stării naturale a corpului (altfel sunt posibile un număr infinit de soluţii) şi presupunerea unei relaţii liniare între deformaţii şi forţe exterioare.

La rezolvarea problemelor din teoria elasticității, se utilizează adesea principiul Saint-Venant: Dacă forțele externe aplicate pe o zonă mică a unui corp elastic sunt înlocuite cu un sistem echivalent static de forțe care acționează pe aceeași zonă (având același vector principal și același moment principal), atunci această înlocuire va provoca doar o modificare a deformatii locale.

În punctele suficient de îndepărtate de locurile în care sunt aplicate sarcini externe, tensiunile depind puțin de metoda de aplicare a acestora. Sarcina, care în cursul rezistenței materialelor a fost exprimată schematic pe baza principiului Saint-Venant sub forma unei forțe sau a unui moment concentrat, reprezintă de fapt tensiuni normale și tangenţiale distribuite într-un fel sau altul pe o anumită zonă. a suprafeței corpului. În acest caz, aceeași forță sau pereche de forțe poate corespunde unor distribuții diferite ale tensiunilor. Pe baza principiului Saint-Venant, putem presupune că o modificare a forțelor pe o secțiune a suprafeței unui corp nu are aproape niciun efect asupra tensiunilor în puncte situate la o distanță suficient de mare de locul în care sunt aplicate aceste forțe (comparativ cu dimensiunile liniare ale secțiunii încărcate).

Poziția zonei studiate, selectată în corp (Fig. 1), este determinată de cosinusurile de direcție ale normalei N față de zona din sistemul selectat de axe de coordonate dreptunghiulare x, y și z.

Dacă P este rezultanta forțelor interne care acționează de-a lungul unei zone elementare izolate în punctul A, atunci efortul total p N în acest punct de-a lungul unei zone cu normal N este definit ca limita raportului în

urmatoarea forma:

Vectorul p N poate fi descompus în spațiu în trei componente reciproc perpendiculare.

2. Pe componentele σ N , τ N s și τ N t în direcțiile normale pe amplasament (efort normal) și două axe reciproc perpendiculare s și t (Fig. 1,b) situate în planul amplasamentului (tangenţiale). stresuri). Conform Fig. 1, b

Dacă o secțiune sau o zonă a corpului este paralelă cu unul dintre planurile de coordonate, de exemplu y0z (Fig. 2), atunci normala acestei zone va fi a treia axă de coordonate x și componentele tensiunii vor fi desemnate σ x, τ xy și τ xz.

Tensiunea normală este pozitivă dacă este de tracțiune și negativă dacă este compresivă. Semnul efortului de forfecare se determină folosind următoarea regulă: dacă o tensiune normală pozitivă (de tracțiune) de-a lungul șantierului dă o proiecție pozitivă, atunci tangențiala

tensiunea de-a lungul aceleiași zone este considerată pozitivă cu condiția să dea și o proiecție pozitivă pe axa corespunzătoare; dacă efortul normal de întindere dă o proiecție negativă, atunci efortul de forfecare pozitiv ar trebui să dea și o proiecție negativă pe axa corespunzătoare.

În fig. 3, de exemplu, toate componentele tensiunii care acționează de-a lungul fețelor unui paralelipiped elementar care coincid cu planurile de coordonate sunt pozitive.

Pentru a determina starea de solicitare într-un punct al unui corp elastic, este necesar să se cunoască solicitarea totală p N pe trei zone reciproc perpendiculare care trec prin acest punct. Deoarece fiecare stres total poate fi descompus în trei componente, starea de stres va fi determinată dacă sunt cunoscute nouă componente de stres. Aceste componente pot fi scrise ca o matrice

numită matricea componentelor tensoarelor tensoare într-un punct.

Fiecare linie orizontală a matricei conține trei componente de stres care acționează pe o zonă, deoarece primele pictograme (numele normalului) sunt aceleași. Fiecare coloană verticală a tensorului conține trei tensiuni paralele cu aceeași axă, deoarece a doua lor pictogramă (numele axei paralele cu care acționează stresul) sunt aceleași.

1.2 Ecuații de echilibru pentru un paralelipiped elementar

și tetraedru elementar

Să selectăm un paralelipiped elementar cu dimensiunile muchiilor dx, dy și dz în punctul studiat A (cu coordonatele x, y și z) al unui corp elastic solicitat prin trei perechi de plane reciproc perpendiculare (Fig. 2). De-a lungul fiecăreia dintre cele trei fețe reciproc perpendiculare adiacente punctului A (cel mai apropiat de planurile de coordonate), vor acționa trei componente ale tensiunii - normală și două tangenţiale. Presupunem că de-a lungul fețelor adiacente punctului A sunt pozitive.

La trecerea de la fața care trece prin punctul A la fața paralelă, tensiunile se modifică și primesc incremente. De exemplu, dacă de-a lungul feței CAD care trece prin punctul A, componentele tensiunii σ x = f 1 (x,y,z), τ xy =f 2 (x,y,z,), τ xz =f 3 (x , y,z,), apoi de-a lungul feței paralele, datorită creșterii unei singure coordonate x la trecerea de la o față la alta, va acționa

Componentele tensiunii Este posibil să se determine tensiunile pe toate fețele unui paralelipiped elementar, așa cum se arată în Fig. 3.

Pe lângă tensiunile aplicate pe fețele unui paralelipiped elementar, asupra acestuia acționează și forțe volumetrice: forțe de greutate, forțe de inerție. Să notăm proiecțiile acestor forțe pe unitatea de volum pe axele de coordonate cu X, Y și Z. Dacă echivalăm cu zero suma proiecțiilor pe axa x a tuturor forțelor normale, tangențiale și volumetrice,

actionand asupra unui paralelipiped elementar, apoi dupa reducerea cu produsul dxdydz obtinem ecuatia

După ce am compilat ecuații similare pentru proiecțiile forțelor pe axele y și z, vom scrie trei ecuații diferențiale pentru echilibrul unui paralelipiped elementar, obținute de Cauchy,

Când dimensiunile paralelipipedului sunt reduse la zero, acesta se transformă într-un punct, iar σ și τ reprezintă componentele tensiunii de-a lungul a trei zone reciproc perpendiculare care trec prin punctul A.

Dacă egalăm cu zero suma momentelor tuturor forțelor care acționează asupra unui paralelipiped elementar în raport cu axa x c paralel cu axa x și care trec prin centrul său de greutate, obținem ecuația

sau, ținând cont de faptul că termenii doi și patru ai ecuației de ordin superior sunt mici în comparație cu ceilalți, după reducerea cu dxdydz

τ yz - τ zy = 0 sau τ yz = τ zy.

După ce am compilat ecuații similare ale momentelor în raport cu axele centrale y c și z c , obținem trei ecuații pentru legea împerecherii tensiunilor tangențiale

τ xy = τ yx, τ yx = τ xy, τ zx = τ xz. (1,3)

Această lege este formulată astfel: tensiunile tangențiale care acționează de-a lungul zonelor reciproc perpendiculare și direcționate perpendicular pe linia de intersecție a ariilor sunt egale ca mărime și identice ca semn.

Astfel, din cele nouă componente ale tensiunii din matricea tensorială T σ, șase sunt egale între perechi și pentru a determina starea tensiunii într-un punct este suficient să găsim doar următoarele șase componente ale tensiunii:

Dar condițiile de echilibru compilate ne-au dat doar trei ecuații (1.2), dintre care șase necunoscute nu pot fi găsite. Astfel, problema directă a determinării stării de tensiune într-un punct este, în cazul general, indeterminabilă static. Pentru a dezvălui această nedeterminare statică, sunt necesare dependențe geometrice și fizice suplimentare.

Să disecăm un paralelipiped elementar în punctul A cu un plan înclinat față de fețele sale; fie normala N la acest plan să aibă cosinusuri de direcție l, m și n Figura geometrică rezultată (Fig. 4) este o piramidă cu o bază triunghiulară - un tetraedru elementar. Vom presupune că punctul A coincide cu originea coordonatelor, iar cele trei fețe reciproc perpendiculare ale tetraedrului coincid cu planurile de coordonate.

Se vor lua în considerare componentele tensiunii care acționează de-a lungul acestor fețe ale tetraedrului

pozitiv. Ele sunt prezentate în Fig. 4. Să notăm cu , și proiecțiile tensiunii totale p N care acționează de-a lungul feței înclinate a tetraedrului BCD pe axele x, y și z. Să notăm aria feței înclinate BCD ca dF. Apoi, zona feței АВС va fi dFп, zona feței ACD - dFl și fața АДВ - dFт.

Să creăm o ecuație de echilibru pentru un tetraedru proiectând toate forțele care acționează de-a lungul fețelor sale pe axa x; proiecția forței corpului nu este inclusă în ecuația de proiecție, deci

deoarece reprezintă o cantitate de ordin mai mare a micimii în comparație cu proiecțiile forțelor de suprafață:

După ce am compilat ecuații pentru proiecția forțelor care acționează asupra tetraedrului pe axele y și z, obținem încă două ecuații similare. Ca rezultat, vom avea trei ecuații de echilibru pentru un tetraedru elementar

Să împărțim un corp spațial de formă arbitrară printr-un sistem de plane reciproc perpendiculare xOy, yOz și xOz (Fig. 5) într-un număr de paralelipipede elementare. În același timp, la suprafața corpului se formează elemente elementare.

tetraedre (secțiuni curbilinii ale suprafeței, datorită micii lor, pot fi înlocuite cu plane). În acest caz, p N va reprezenta sarcina de pe suprafață, iar ecuațiile (1.4) vor conecta această sarcină cu tensiunile σ și τ din corp, adică vor reprezenta condițiile la limită ale problemei teoriei elasticității. Condițiile determinate de aceste ecuații se numesc conditii de suprafata.

De remarcat că în teoria elasticității, sarcinile externe sunt reprezentate de tensiuni normale și tangenţiale aplicate conform unor legi unor zone care coincid cu suprafața corpului.

1.3 Tensiuni normale și forfecare de-a lungul unei pante înclinate

site-ul

Să considerăm un tetraedru elementar ABCD, ale cărui fețe sunt paralele cu planurile de coordonate, iar normala N față de a patra față formează unghiuri cu axele de coordonate, ale căror cosinusuri sunt egale cu l, m și n (Fig. 6). ). Vom presupune că componentele tensiunii normale și tangenţiale care acționează de-a lungul zonelor situate în planurile de coordonate sunt date și vom determina tensiunile pe zona BCD. Să alegem un nou sistem de axe de coordonate dreptunghiulare x 1, y 1 și z 1, astfel încât axa x 1 să coincidă cu normala N,

În corpurile care se află în repaus sau în mișcare sub influența sarcinilor.

1. Problema teoriei elasticității

Sarcina acestei teorii este de a scrie ecuații matematice, a căror soluție ne permite să răspundem la următoarele întrebări:

Care vor fi deformațiile unui anumit corp dacă i se aplică o încărcare de o mărime dată în puncte de încărcare cunoscute?
Care va fi tensiunea din corp?

Întrebarea dacă corpul se va prăbuși sau va rezista la aceste sarcini este strâns legată de teoria elasticității, dar, strict vorbind, nu este de competența sa.

Există multe exemple care pot fi date - de la determinarea deformațiilor și solicitărilor într-o grindă încărcată pe suporturi, până la calcularea acelorași parametri în corpul unei aeronave, rachete, submarin, în roata unui vagon, în armura unui tanc atunci când este lovit de un proiectil, într-un lanț de munți când se așează un val, în cadrul unei clădiri înalte și așa mai departe.

În cazul problemelor de inginerie, tensiunile și deformațiile în structuri sunt calculate folosind teorii simplificate, bazate logic pe teoria elasticității. Astfel de teorii includ: rezistența materialelor, a cărui sarcină este să calculeze tije și grinzi, precum și să evalueze tensiunile care apar în zonele de interacțiune de contact ale corpurilor solide; mecanica structurala- calculul sistemelor de bază (de exemplu, poduri) și teoria cochiliei- o ramură independentă și bine dezvoltată a științei deformării și stresului, al cărei subiect de cercetare îl reprezintă cochiliile cu pereți subțiri - forme cilindrice, conice, sferice și complexe.

2. Concepte de bază ale teoriei elasticității

Conceptele de bază ale teoriei elasticității sunt stresul care acționează pe planuri mici, care poate fi trasat mental în corp printr-un punct dat P, deformarea unei mici vecinătăți a punctului P și deplasarea punctului P însuși se introduc tensorul, tensorul de deformare mică și vectorul de deplasare tu i. Notare scurtă, Unde sunt indicii eu, j ia valorile 1, 2, 3 (sau x, y, z) ar trebui înțeles ca o matrice sub forma:

Notația scurtă pentru tensor ar trebui înțeleasă în mod similar.

Dacă un punct fizic al corpului M, din cauza deformării, a luat o nouă poziție în spațiul P”, atunci vectorul deplasare este un vector cu componente (u x, u y, u z), sau, pe scurt, tu i.În teoria deformaţiilor mici componentele tu iși sunt considerate cantități mici (strict vorbind, infinitezimale). Componentele unui tensor, care se mai numește tensor de deformare Cauchy sau tensor liniar de deformareși vector tu i conectate prin dependențe:

Din ultima intrare este clar că , Prin urmare, tensorul deformarii este simetric prin definiție.

Dacă un corp elastic este în echilibru sub acțiunea forțelor externe (adică, vitezele tuturor punctelor sale sunt egale cu zero), atunci orice parte a corpului care poate fi izolată mental de el este, de asemenea, în echilibru. Din corp iese în evidență un paralelipiped dreptunghiular infinitezimal, ale cărui margini sunt paralele cu planurile de coordonate ale sistemului cartezian. Din starea de echilibru a unui paralelipiped cu dimensiunile marginilor dx, dy, dz, Având în vedere condițiile de echilibru al forțelor în proiecții, putem obține:

În mod similar, se obțin ecuații de echilibru care exprimă egalitatea la zero a momentului principal al tuturor forțelor care acționează asupra paralelipipedului, redusă la forma:

Această egalitate înseamnă că tensorul de stres este un tensor simetric și numărul de componente necunoscute ale tensorului de stres este redus la 6. Există doar trei ecuații de echilibru, adică. ecuațiile staticii nu sunt suficiente pentru a rezolva problema. Soluția este de a exprima tensiunile în termeni de deformații folosind ecuațiile legii lui Hooke și apoi de a exprima deformațiile în termeni de deplasări tu i folosind formulele Cauchy și înlocuiți rezultatul în ecuația de echilibru. Aceasta produce trei ecuații de echilibru diferențial pentru trei funcții necunoscute u x u y u z, acestea. numărul de necunoscute va corespunde numărului de ecuații. Aceste ecuații sunt numite ecuații Navier-Cauchy.

3. Condiții la limită

Rezolvarea problemelor din teoria elasticității se reduce la integrarea unui sistem de ecuații cu diferențe parțiale care determină comportamentul unui corp elastic în punctele interne. La aceste ecuații se adaugă condițiile de pe suprafața care limitează corpul. Aceste condiții determină alocarea fie a forțelor de suprafață exterioare, fie a deplasărilor punctelor de pe suprafața corpului. În funcție de aceasta, se formulează de obicei unul dintre cele trei tipuri de probleme de valoare limită.

Prima problemă a valorii la limită- cinematice. Componentele deplasării se găsesc în volumul corpului și capătă anumite valori la suprafață. În starea de pe suprafața corpului, ecuațiile suprafeței și valorile componentelor deplasărilor pe acesta sunt specificate în acest fel.

A doua problemă a valorii la limită- static. În acest caz, nu sunt impuse restricții de mișcare pe suprafața corpului și sunt specificate ecuațiile de suprafață, cosinusurile de direcție ale normalei la suprafață și valorile componentelor sarcinilor de suprafață.

În cazul în care suprafața corpului coincide cu planurile de coordonate, condițiile la limită pot fi formulate direct în tensiuni. Apoi este suficient să specificați ecuația suprafeței și să setați valorile componentelor tensiunii pe ea.

A treia problemă a valorii la limită- amestecat. În acest caz, condițiile cinematice sunt stabilite pe o parte a suprafeței corpului, iar condițiile statice pe cealaltă.

Aceste trei sarcini nu epuizează varietatea condițiilor la limită. De exemplu, pe o anumită suprafață, nu pot fi specificate toate cele trei componente de deplasare sau componente de încărcare de suprafață.

4. Vezi de asemenea

Surse

Timoshenko S.P., Goodyear J. Teoria elasticității. M.: Nauka, 1979. 560 p.

Sarcina principală a teoriei elasticității este de a determina starea de efort-deformare în funcție de condițiile date de încărcare și fixare a corpului.

Starea efort-deformare se determină dacă se găsesc componentele tensorului tensiunii () și vectorului deplasare, nouă funcții.

Ecuații de bază ale teoriei elasticității

Pentru a găsi aceste nouă funcții, trebuie să scrieți ecuațiile de bază ale teoriei elasticității sau:

Cauchies diferențiale

unde sunt componentele tensorului părții liniare a deformației Cauchy;

Componentele tensorului derivat al deplasării radiale.

Ecuații de echilibru diferențial

unde sunt componentele tensorului tensiunii; - proiecția forței corpului pe axa j.

Legea lui Hooke pentru un corp izotrop liniar elastic

unde sunt constantele Lame; pentru un corp izotrop. Iată tensiunile normale și de forfecare; deformații și, respectiv, unghiuri de forfecare.

Ecuațiile de mai sus trebuie să satisfacă dependențele Saint-Venant

În teoria elasticității, problema este rezolvată dacă sunt îndeplinite toate ecuațiile de bază.

Tipuri de probleme în teoria elasticității

Condițiile limită de pe suprafața corpului trebuie îndeplinite și, în funcție de tipul condițiilor limită, se disting trei tipuri de probleme din teoria elasticității.

Primul tip. Forțele sunt date pe suprafața corpului. Condiții de frontieră

Al doilea tip. Probleme în care deplasarea este specificată pe suprafața corpului. Condiții de frontieră

Probleme directe și inverse ale teoriei elasticității

Ecuații ale teoriei elasticității în deplasări (ecuații Lame)

Pentru a determina ecuațiile teoriei elasticității în deplasări, scriem: ecuații de echilibru diferențial (18) Legea lui Hooke pentru un corp izotrop liniar elastic (19)

Dacă luăm în considerare că deformațiile se exprimă prin deplasări (17), scriem:

De asemenea, trebuie amintit că unghiul de forfecare este legat de deplasări prin următoarea relație (17):

Înlocuind expresia (22) în prima ecuație de egalități (19), obținem că tensiunile normale

Rețineți că scrierea lui în acest caz nu implică însumarea peste i.

Înlocuind expresia (23) în cea de-a doua ecuație de egalități (19), obținem că eforturile de forfecare

Să scriem ecuațiile de echilibru (18) în formă extinsă pentru j = 1

Înlocuind expresii pentru tensiunile normale (24) și tangențiale (25) în ecuația (26), obținem

unde l este constanta Lame, care este determinată de expresia:

Să substituim expresia (28) în ecuația (27) și să scriem,

unde este determinat de expresia (22), sau în formă extinsă

Să împărțim expresia (29) la G și să adăugăm termeni similari și să obținem prima ecuație Lame:

unde este operatorul Laplace (operatorul armonic), care este definit ca

În mod similar, puteți obține:

Ecuațiile (30) și (32) pot fi scrise după cum urmează:

Ecuațiile (33) sau (30) și (32) sunt ecuații Lamé. Dacă forțele de volum sunt zero sau constante, atunci

Mai mult, notația în acest caz nu implică însumarea peste i. Aici

sau, ținând cont de (31)

Înlocuind (22) în (34) și efectuând transformări, obținem

si in consecinta

unde este o funcție care satisface această egalitate. Dacă

prin urmare, f este o funcție armonică. Aceasta înseamnă că deformarea volumetrică este, de asemenea, o funcție armonică.

Presupunând că ipoteza anterioară este adevărată, luăm operatorul armonic din linia i-a a ecuației Lame

Dacă forțele de volum sunt zero sau constante, atunci componentele deplasării sunt funcții biharmonice.

Sunt cunoscute diferite forme de reprezentare a funcțiilor biharmonice prin intermediul celor armonice (satisfăcând ecuațiile Lamé).

unde k = 1,2,3. în plus

În capitolele 4-6 au fost derivate ecuațiile de bază ale teoriei elasticității, stabilindu-se legile modificărilor tensiunilor și deformațiilor în vecinătatea unui punct arbitrar al corpului, precum și relațiile de legătură între tensiuni cu deformații și deformații cu deplasări. Să prezentăm sistemul complet de ecuații al teoriei elasticității în coordonate carteziene.

Ecuații de echilibru Navier:

Relații Cauchy:

Legea lui Hooke (în forme directe și inverse):

Să vă reamintim că aici e = e x + e y + e z - deformarea volumetrică relativă, iar conform legii împerecherii tensiunilor tangenţiale Xj. = Tj;și în consecință y~ = ^ 7. Constantele Lame incluse în (16.3a) sunt determinate de formulele (6.13).

Din sistemul de mai sus este clar că include 15 ecuații diferențiale și algebrice care conțin 15 funcții necunoscute (6 componente tensorale de tensiuni, 6 componente tensoare de deformare și 3 componente vectoriale de deplasare).

Datorită complexității sistemului complet de ecuații, este imposibil de găsit o soluție generală care să fie valabilă pentru toate problemele de teoria elasticității întâlnite în practică.

Există diferite moduri de a reduce numărul de ecuații dacă, de exemplu, doar tensiunile sau deplasările sunt luate ca funcții necunoscute.

Dacă, la rezolvarea problemei teoriei elasticității, excludem deplasările din considerare, atunci în locul relațiilor Cauchy (16.2) putem obține ecuații care leagă componentele tensorului deformare. Să diferențiem deformarea g x, definit de prima egalitate (16.2), de două ori y, deformare g y - de două ori în x și adăugați expresiile rezultate. Ca rezultat obținem

Expresia din paranteze, conform (16.2), determină deformația unghiulară y. Astfel, ultima egalitate poate fi scrisă sub formă

În mod similar, mai putem obține două egalități, care, împreună cu ultima relație, alcătuiesc primul grup Ecuații de compatibilitate cu deformarea Saint-Venant:

Fiecare dintre egalitățile (16.4) stabilește o legătură între deformațiile dintr-un plan. Din relațiile Cauchy se pot obține și condiții de compatibilitate care raportează deformații în diferite planuri. Să diferențiem expresiile (16.2) pentru deformații unghiulare astfel: y - conform z y - prin X;

Prin y; Să adunăm primele două egalități și să scădem pe a treia. Ca rezultat obținem

Diferențiând această egalitate față de y și ținând cont de faptul că,

ajungem la următoarea relație:

Folosind substituția circulară, obținem încă două egalități, care, împreună cu ultima relație, constituie al doilea grup de ecuații pentru compatibilitatea deformațiilor Saint-Venant:

Ecuațiile de compatibilitate cu deformarea se mai numesc și condiții continuitate sau continuitate. Acești termeni caracterizează faptul că atunci când este deformat corpul rămâne solid. Dacă ne imaginăm un corp format din elemente individuale și luăm deformațiile ex, y sub formă de funcții arbitrare, atunci în stare deformată nu va fi posibilă asamblarea unui corp solid din aceste elemente. Dacă sunt îndeplinite condițiile (16.4), (16.5), deplasările limitelor elementelor individuale vor fi astfel încât corpul va rămâne solid chiar și în stare deformată.

Astfel, una dintre modalitățile de reducere a numărului de necunoscute la rezolvarea problemelor din teoria elasticității este excluderea deplasărilor din considerare. Apoi, în locul relațiilor Cauchy, sistemul complet de ecuații va include ecuațiile de compatibilitate pentru deformațiile Saint-Venant.

Având în vedere sistemul complet de ecuații al teoriei elasticității, ar trebui să se acorde atenție faptului că practic nu conține factori care determină starea de stres-deformare a corpului. Astfel de factori includ forma și dimensiunea corpului, metodele de fixare a acestuia, sarcinile care acționează asupra corpului, cu excepția forțelor volumetrice. X, Y, Z.

Astfel, sistemul complet de ecuații al teoriei elasticității stabilește doar modele generale de modificări ale tensiunilor, deformațiilor și deplasărilor în corpurile elastice. Soluția la o problemă specifică poate fi obținută dacă sunt specificate condițiile de încărcare ale corpului. Acest lucru este dat în condițiile la limită, care disting o problemă din teoria elasticității de alta.

Din punct de vedere matematic, este, de asemenea, clar că soluția generală a unui sistem de ecuații diferențiale include funcții și constante arbitrare, care trebuie determinate din condițiile la limită.